Błędy uczniowskie na egzaminie ósmoklasisty z matematyki – skąd się biorą i jak im zapobiegać?

Analiza rozwiązań zadań z próbnego egzaminu Nowej Ery oraz egzaminów ósmoklasisty.

W sprawozdaniach Centralnej Komisji Egzaminacyjnej z egzaminów ósmoklasisty jest wiele informacji o błędach popełnianych przez uczniów. Pojawiają się one w rozwiązaniach mimo wcześniejszej wytężonej pracy uczniów i nauczycieli. Powstają więc pytania istotne ze względu na skuteczność dydaktyczną:

  • Co może być źródłem błędu uczniowskiego i jaka jest jego specyfika?
  • Jakie typy błędów pojawiają się w pracach egzaminacyjnych?
  • Jak zapobiegać takim błędom i jak ograniczać ich liczbę?
  • Czy błędy mogą pomóc walczyć z błędami?
  • Co można znaleźć w sprawozdaniach CKE po E8 na temat zapobiegania błędom?

W tym artykule zostanie podjęta próba udzielenia odpowiedzi na te pytania, a całość będzie ilustrowana zadaniami z próbnego egzaminu Nowej Ery, a także zadaniami i rozwiązaniami z egzaminów ósmoklasisty.

 

Czym jest błąd uczniowski?

Zacząć należy oczywiście od zdefiniowania podstawowego pojęcia. Przyjmijmy zatem, że błąd uczniowski to fałszywa wypowiedź lub wykonanie niewłaściwej czynności, spowodowane nieznajomością odpowiedniego algorytmu, relacji lub własności i oparciem swoich działań intelektualnych na niepoprawnych, nieuzasadnionych procesach logicznych, takich jak: skojarzenia, uogólnienia, analogie lub wnioski.

Błąd można dostrzec między innymi w kontekście:

  • odstępstwa od normy,
  • przeinaczenia czegoś,
  • uchybienia w wykonywaniu pracy,
  • pomyłki (w tym spowodowanej roztargnieniem).

Aby zlokalizować źródła błędów popełnianych przez uczniów, zwróćmy uwagę na to, że znaczna część nauczania oparta jest na komunikacji i tu mogą pojawić się różne zakłócenia:

  • błędny lub niechlujny przekaz (żargon typu: minus i minus daje plus; liczba pierwsza to taka, która dzieli się przez 1 i przez samą siebie; wartość bezwzględna to liczba bez znaku);
  • niezrozumienie tekstu mówionego lub czytanego (przesadna dbałość o precyzję, zbyt duża porcja wiedzy przekazywana jednorazowo, używanie niezrozumiałego języka);
  • zła asymilacja wiedzy (niewłaściwe uogólnienia i analogie, mylenie pojęć, niestaranność zapisu).

Powodów błędów można upatrywać także w innych obszarach:

  • deficyt wiedzy matematycznej,
  • brak umiejętności technicznych niezbędnych do rozwiązania zadania,
  • małe doświadczenie w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów,
  • nie do końca rozwinięta umiejętność myślenia abstrakcyjnego,
  • niska motywacja,
  • potoczne opinie, stereotypy myślenia,
  • uwarunkowania niezależne od ucznia.

Pojęciem podobnym do błędu jest pomyłka. Mamy z nią do czynienia, gdy uczeń – mimo że ma potrzebną wiedzę – źle wykonuje określoną czynność wskutek:

  • zaburzeń wewnętrznych:
    • nieuwaga,
    • zmęczenie,
    • bardzo wysoka motywacja,
    • fałszywe autosugestie,
  • lub zewnętrznych:
    • niepoprawnie lub niejednoznacznie sformułowane polecenie,
    • sugestia innych osób,
    • presja czasu.

Przykłady błędów uczniowskich na egzaminie

Rodzajów błędów jest bardzo wiele, a ponieważ pomysłowość uczniów jest nieograniczona, każda klasyfikacja błędów będzie niekompletna. Skupmy się więc na kilku zasadniczych rodzajach. Najlepiej jest to zrobić, analizując konkretne rozwiązania. Tu posłużymy się zadaniami z ostatniego próbnego egzaminu Nowej Ery oraz zadaniami i rozwiązaniami publikowanymi przez CKE w corocznych informatorach poegzaminacyjnych.



Zadanie 17. (0–2)
W sklepie AGD pralka kosztuje 1353 zł. Jej cena zawiera podatek VAT wynoszący 23%. Sklep zapowiada promocję w ostatnią sobotę miesiąca: WSZYSTO BEZ VAT, co oznacza, że ceny wszystkich towarów zostaną obniżone o wysokość podatku VAT.
Jaka będzie cena promocyjna pralki? Zapisz obliczenia.

W tym rozwiązaniu uczeń cenę brutto pomniejsza o 23% tej ceny, a otrzymany wynik uznaje za pierwotną cenę netto. Jest to typowy przykład błędnego stosowania analogii. Aby zwiększyć liczbę o p%, należy dodać do niej  tej liczby, ale po odjęciu  od powiększonej liczby nie otrzymamy pierwotnej wartości.



Zadanie 18. (0–3)

 

Tu błędnie uznano, że bok  jest wysokością trójkąta odpowiadającą bokowi. Jest to typowy błąd ‒ luka w wiedzy. Tym razem uczeń skojarzył to zadanie z jakimś schematem, wzorem, ale pogubił się w szczegółach określających, co to jest wysokość trójkąta.

Z interesującym rodzajem błędu mamy najprawdopodobniej do czynienia w poniższym zadaniu. Zwróćmy uwagę na jego treść oraz poziom jego wykonania na egzaminie.



Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

 

 

 

 

 

 

Tu poprawną wartość wskazało jedynie 19% uczniów. Gdyby nawet przyjąć, że wszyscy rozwiązujący to zadanie w sposób przypadkowy wskazywali jedną z czterech odpowiedzi, to poprawną (A) wybrałoby mniej więcej 25% osób. Co mogło spowodować, że te wskazania są o 6 punktów procentowych mniejsze? Jedną z hipotez może być to, że skoro w mianowniku wyrażenia danego w zadaniu jest wyrażenie z liczbą 6, to i w rozwiązaniu też tak powinno być. Trójka jakoś tu nie pasuje. Jest to błąd fałszywej sugestii i rozumowania pozamerytorycznego.

Bardzo częstym rodzajem błędów, co podkreśla również CKE, są błędy i pomyłki rachunkowe. Stanowią one znaczne obciążenie rozwiązań. Ze zwykłą pomyłką mamy do czynienia np. w poniższym rozwiązaniu zadania z egzaminu 2019 r.:



Zadanie 19. (0–3)
Z okazji dnia sportu w godzinach od 9:00 do 12:00 przeprowadzono połowę z wszystkich konkurencji zaplanowanych na cały dzień, a między 12:00 a 14:00 - jeszcze 1/3 z pozostałych. O godzinie 14:00 z powodu deszczu zakończono zawody. W tym dniu nie przeprowadzono 12 zaplanowanych kokurencji. 
Ile konkurencji planowano przeprowadzić podczas całego dnia sportu? Zapisz obliczenia.


W poniższym rozwiązaniu tego samego zadania możemy znaleźć inny typ błędu. Tu uczeń próbuje zbudować model algebraiczny sytuacji opisanej w zadaniu, ale nie robi tego poprawnie. Jest to zatem typowy błąd metody, polegający na błędnym modelowaniu.


W następnym zadaniu 35% uczniów wskazało rozwiązanie, które jest wynikiem obliczeń z zastosowaniem złej kolejności działań.



Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Czy taki wybór można sklasyfikować jako pomyłkę? Jeśli uczeń po dowiedzeniu się, że odpowiedź nie jest poprawna, sam skorygowałby obliczenia i wykonał je poprawnie, to rzeczywiście można przyjąć, że to pomyłka. Gdy natomiast uczeń nie pamięta zasad rządzących kolejnością wykonywania działań, wtedy mamy do czynienia z błędem rachunkowym z kategorii błędów metody.

I jeszcze jedna sytuacja. Tym razem dość popularny błąd metody, często pojawiający się w rozwiązaniach zadań na dowodzenie.



Zadanie 16. (0–2)

W trójkącie o kątach wewnętrznych α, β, γ miara kąta α jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów.
Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.

Tym razem uczeń w sposób nieuprawniony przyjmuje, że oba kąty ostre w tym trójkącie mają miarę po 45°. Jest to typowy błąd metody, popełniony przez ucznia, który nie rozumie, na czym polega dowodzenie faktów matematycznych ogólnie sformułowanych. Tego rodzaju błąd występuje także w zadaniach, w których trzeba uzasadnić pewną ogólną własność arytmetyczną lub algebraiczną. Niektórzy uczniowie sprawdzają prawdziwość tezy dla kilku liczb i na tej podstawie wnioskują o jej prawdziwości w zbiorze nieskończonym.

 

Zapobieganie błędom

Zapobieganie błędom to przede wszystkim usuwanie ich przyczyn. Należy działać przede wszystkim w obszarach, które były wcześniej wskazane jako źródła błędów. Warto zatem podejmować wymienione poniżej działania.

  • Usprawniać komunikację ‒ warto tu:
    • zatroszczyć się o to, aby przekaz był jasny, język zrozumiały, a tempo odpowiednie
      dla przeciętnego ucznia,
    • ciągle kontrolować stan przyswojenia i zrozumienia wiedzy,
    • sprawdzać, czy wiedza stała się użyteczna.
  • Niwelować braki w wiedzy faktograficznej i metodologicznej, co można osiągnąć przez:
    • ustalenie genezy błędu,
    • powrót do momentu wprowadzenia określonej wiedzy,
    • wykorzystanie właściwych analogii (np. algebra – arytmetyka),
    • wskazanie możliwości wykorzystania narzędzi z innego działu,
    • „burzę mózgów” – poszukiwanie alternatywnych sposobów rozwiązań,
    • ćwiczenie czytania ze zrozumieniem tekstów matematycznych, rysunków, wykresów.
  • Pomagać uczniom nabyć wprawę w rozwiązywaniu bardziej złożonych problemów, czyli:

    • zacząć od rozwiązań wymagających 2–3 kroków,
    • zachęcić uczniów do ułożenia i rozwiązania analogicznego zadania,
    • napisać plan rozwiązania zadania (najpierw po rozwiązaniu zadania, a potem spróbować to zrobić przed rozwiązaniem),
    • używać wizualizacji (grafy, rysunki, schematy, mapy myśli),
    • czytać rozwiązania w podręcznikach i innych książkach.
  • Rozwijać umiejętność myślenia abstrakcyjnego, wyobraźni matematycznej, a zatem:

    • zacząć od konkretów,
    • stosować stopniowe abstrahowanie (model – rysunek – wyobrażenie),
    • przed jakąkolwiek pracą z obiektem abstrakcyjnym sprawdzać poprawność jego rozumienia (pytania ogólne, ale związane z kontekstem zadania).
  • Dbać o odpowiednią motywację, np.:

    • sprawiać, aby uczeń
      osiągał choćby drobne sukcesy,
    • pozwolić uczniowi samemu ustawiać poprzeczkę,
    • kierować zabiegi motywacyjne do pojedynczego ucznia,
    • zadbać o atrakcyjność zadania (np. forma, tematyka,
      powiązanie z grą),
    • pokazać użyteczność poznawanego materiału,
    • ustawić odpowiedni poziom motywacji (zbyt niska lub zbyt wysoka może zwiększyć ryzyko błędu).
  • Usuwać negatywne uwarunkowania zewnętrzne, pozamerytoryczne, czyli sprawiać, aby uczniowie:

    • ignorowali potoczne opinie typu: ostatnie zadanie w zestawie jest najtrudniejsze; zadanie wysoko punktowane na pewno jest trudne; zadania na dowodzenie są tylko dla wybranych,
    • ostrożnie traktowali sugestie innych osób,
    • nie ulegali presji czasu.

Błędy pomagają w walce z błędami

Jak zrozumieć to dość przewrotne stwierdzenie? Wyobraźmy sobie taką sytuację.

Uczeń rozwiązujący zadanie na tablicy popełnił błąd. Co powinien powiedzieć nauczyciel?

  • „Siadaj, pała.”
  • „Znowu nic nie umiesz, wracaj na miejsce.”
  • „Nie odpuszczę ci, jutro znów będziesz pytany.”
  • „Porozmawiajmy o tym, co napisałeś.”

Oczywiście jedynie to ostatnie działanie jest właściwe. Nie można ucznia pozostawić samego w błędzie, gdyż przy najbliższej okazji powtórzy ten sam błąd, a to spowoduje frustrację zarówno jego samego, gdyż znów coś nie wyszło, jak i nauczyciela, który bez satysfakcji pomyśli o skuteczności swojej pracy dydaktycznej. Zapytajmy zatem w takiej sytuacji ucznia:

  • Czy dostrzegasz, że popełniłeś błąd?
  • Jeśli tak, to po czym to poznajesz?
  • Jeśli nie, to przeanalizuj swój zapis.
    • Dlaczego tak wykonałeś tę czynność?
    • Czy już wiesz, co i jak należy poprawić?
    • Czy rozumiesz, dlaczego twój pierwotny zapis był błędny?

Te i tym podobne pytania pozwolą uczniowi samodzielnie dojść do przyczyny błędu, co sprawi, że utrwali on wiedzę na dłużej.

Innym sposobem wykorzystania błędów do poprawy efektywności dydaktycznej jest analizowanie rozwiązań zadań zamkniętych. Próbkę tego mieliśmy już wcześniej. Warto spojrzeć na jeszcze jedno zadanie i – nawet nie wiedząc, jak rozwiązali je uczniowie – odpowiedzieć na pytanie o przyczyny wskazania błędnych odpowiedzi oraz zastanowić się nad zabiegami edukacyjnymi, które sprawią, że uczniowie będą popełniali jak najmniej takich błędów.



Zadanie 4. (0–1)

W którym zestawie liczby zapisano w kolejności od najmniejszej do największej?
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kolejnym obszarem działań dydaktycznych z błędami w roli głównej jest metoda prób i błędów (prób i poprawek), która polega na naprzemiennym stawianiu i weryfikowaniu hipotez, aż do spodziewanego wyniku, przy czym każda następna hipoteza musi opierać się na wyniku weryfikacji poprzedniej. Tym właśnie metoda różni się od zwykłego zgadywania. Rozwiązanie zadania w ten sposób jest w określonych okolicznościach akceptowane przez CKE.

Poniżej znajduje się rozwiązanie tą metodą zadania z ostatniego egzaminu ósmoklasisty, ocenione na pełną liczbę punktów.



Zadanie 18. (0–2)

Ania chciała kupić 10 jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej 11 złotych. Kupiła 6 takich puszek karmy i zostało jej 3,40 złotych.
Ile kosztuje jedna puszka karmy? Zapisz obliczenia.


Uczniowie dość często próbują stosować tę metodę, ale zdarza się, że czynią to nieporadnie, chaotycznie, przez co nie osiągają zamierzonego celu. Warto np. połączyć ją z nauką szacowania i usystematyzować uczniowskie działania tak, aby stanowiły realizację pełnoprawnej metody. Dobrym momentem do jej zaprezentowania jest np. poszukiwanie alternatywnego rozwiązania zadania ‒ jak choćby w przypadku takiego zadania, zaczerpniętego również z próbnego egzaminu Nowej Ery:



Zadanie 19. (0–3)

Trzy studenki postanowiły wynająć mieszkanie i równo podzielić się opłatą za wynajem. Zapytały o cenę i obliczyły, że gdyby zamieszkała z nimi jeszcze jedna koleżanka, to każda z nich płaciłaby o 155 zł mniej.
Jaka była cena wynajmu tego mieszkania? Ile płaciłaby każda z nich, gdyby we trzy wynajmowały mieszkanie, a ile - gdyby mieszkały w nim we cztery? Zapisz obliczenia. 

 

Sprawozdanie CKE o błędach uczniowskich

Na zakończenie warto jeszcze raz odwołać się do informatorów o egzaminach ósmoklasisty. Można tam znaleźć następujące stwierdzenie, które wynika także z rozważań zawartych w tym artykule.

Najczęstszymi błędami na egzaminie ósmoklasisty są:

  • błędy rachunkowe,
  • niewłaściwe metody rozwiązania,
  • błędy, które są skutkiem niewłaściwej analizy treści zadania.

W opracowaniach CKE zawarto także wiele interesujących wskazówek dotyczących sugerowanych działań zmniejszających liczbę błędów. Warto je tu przytoczyć:

  • wdrażanie uczniów do graficznego przedstawiania danych z zadania,
  • ćwiczenie umiejętności odczytywania informacji przedstawionych w różnej formie,
  • wykorzystanie szacowania wartości do sprawdzenia poprawności,
  • refleksja na temat otrzymanego wyniku w odniesieniu do rzeczywistości,
  • wyrabianie nawyku sprawdzania otrzymanego wyniku z warunkami zadania,
  • wdrażanie do rozwiązywania problemów matematycznych różnymi sposobami,
  • wyszukiwanie i rozwiązywanie na lekcjach problemów praktycznych,
  • ćwiczenie umiejętności budowania modelu matematycznego dla danego kontekstu,
  • pokazywanie przykładów rozwiązań uczniowskich, w których błąd w obliczeniach uniemożliwił skuteczne doprowadzenie rozwiązania do końca.

Problematyka błędów uczniowskich była, jest i będzie zawsze jednym z podstawowych wyzwań dla dydaktyki matematyki. Ze względu na mnogość rodzajów błędów i różną ich genezę nie można opracować bardzo szczegółowych procedur. Pozostaje być czujnym podczas obserwacji uczniowskich aktywności i nie zostawiać podopiecznych bez wsparcia, gdy z tego czy innego powodu zdarzy się im potknąć podczas rozwiązywania zadania. Taka nauczycielska wrażliwość przyniesie z pewnością skutek choćby w postaci ograniczenia tych najbardziej typowych błędów.