Wydaje się, że wciąż nie możemy wyzwolić się z przekonania, że matematyka jest przedmiotem łatwym do przyswojenia tylko przez nielicznych, tych specjalnie uzdolnionych, i to uzdolnionych w odpowiedni sposób. A z drugiej strony każdy z nas zna osoby, które nie miały problemów z uczeniem się matematyki, mimo że później, realizując swoje pasje, wybierały zawody niekoniecznie związane z matematyką.

Wieszcz uzdolniony matematycznie

Historycznie, jednym z ciekawszych jest przykład Adama Mickiewicza, naszego wybitnego poety, który w czasach swoich studiów był mocno zaintere­sowany naukami ścisłymi i potrafił zagłębiać się w nie dużo dalej, niż musiał. Oto tekst pewnego dyplomu z XIX w.: Zaświadczamy i czynimy wiadomym komu należy, że Adam Mickiewicz pilnie uczęszczał na publiczne wykłady z fizyki, chemii, algebry i matematyki wyższej podczas egzaminów ustanowionych przez prawa akademickie dał taki do­wód poczynionych postępów, że głosowaniem grona profesorów wydziału fizyczno-matematycznego został Adam Mickiewicz uznany godnym stopnia kandydata filozofii. Dodatkowo, właściciel tego dyplomu w okresie swoich studiów przedstawił kołu swoich przyjaciół pracę ma­tematyczną „O najlepszym sposobie rozwiązywania zagadnień z porównaniem i oznaczaniem sposobów syntetycznego i analitycznego [napisaną] przez Deweleya”. Adam Mickiewicz nie miał problemów z matematy­ką. Jest więc dobrym przykładem na to, że można prowadzić zaawansowane rozumowania matema­tyczne, będąc równocześnie geniuszem w innej dziedzinie.

 Przekonanie, że dychotomiczne zaszuflad­kowanie na umysł ścisły kontra humani­styczny wcale nie musi obowiązywać.

Wcale też nie musi być prawdą, że tylko nieliczne osoby mają predyspozycje do uczenia się matema­tyki. Po co zresztą sięgać do historii i do wybitnych nazwisk! Wielokrotnie współczesne dzieci, nawet 4-letnie, prezentują fantastyczne i zaskakujące ro­zumowanie. Są w stanie zauważać ciekawe zjawiska, kojarzyć fakty, wyciągać wnioski. Nauczyciele cza­sami twierdzą, że ich mali uczniowie w klasie I wolą uczestniczyć w zajęciach edukacji matematycznej niż polonistycznej (chociaż ja w pierwszej klasie wolałam polski niż matematykę). Jednak przykrym faktem jest również to, że im bardziej zagłębiamy się w odmęty szkolnej rzeczywistości, tym więcej uczniów stwierdza, że ma problemy z uczeniem się matematyki. Warto się zastanawiać, co jest tego przyczyną.

Czy matematyka musi być trudna?

Moje wieloletnie wysiłki związane są z próbami zrozumienia, w jaki sposób uczymy się matematyki, jaka jest specyfika budowania jej w umysłach. Jest faktem, że nauczanie i uczenie się matematyki prze­biega specyficznymi ścieżkami, co nie znaczy, że te ścieżki są niezwykłe i skomplikowane. Coraz lepiej rozumiemy te ścieżki i staramy się nimi podążać, budując propozycje metodyczne odpowiednie do wieku uczącego się. Wierzymy, że w ten sposób możemy spowodować, że uczniowie z każdego poziomu edukacyjnego mogą polubić matematykę, a przynajmniej – zaakceptować ją jako przedmiot funkcjonujący na podobnych zasadach jak np. geografia. Czy ktoś tłumaczy się z dwói z geografii tym, że nie ma specjalnych do niej uzdolnień? Nasze przekonania poparte są badaniami, obserwacjami. Dlatego twierdzę, że naprawdę jesteśmy w stanie przełamać przekonanie, że matematyka jest za trud­na dla zwykłego (czyli zdrowego i myślącego) ucznia.

Jak kształtować zainteresowanie matematyczne u najmłodszych uczniów?

Pojęcia i procedury matematyczne są zakorzenione w świecie, który nas otacza. Matematyka powstawała dzięki temu, że człowiek zauważał pewne wspólne elementy wielu różnych sytuacji i z czasem doszedł do wniosku, że korzystanie z tych wspólnych ele­mentów pomaga rozwiązywać wiele pojawiających się problemów. Te problemy nie były już wtedy dla niego całkiem nowe i zaskakujące, gdyż dla ich rozwiązania można było wykorzystać wcześniejsze doświadczenia. I tu dochodzimy do zasadniczego sposobu uczenia się matematyki. Jest to:

Samodzielne zbieranie doświadczeń połączone z refleksją

Tej samodzielności nie zastąpi w żaden sposób ak­tywność nauczyciela. To dziecko musi zostać sam na sam z problemem, mieć możliwość poeksperymen­towania, popróbowania, głównie po to, by zapoznać się z sytuacją, rozpoznać jej działanie. Dziecko nie będzie rozbijało problemu matematycznego na mniejsze elementy, nie będzie wstępnie rozpa­trywało struktury problemu. Będzie usiłowało go zrozumieć w całości. Dopiero potem będzie starało się działać, nie zawsze będąc przekonanym, że jego działanie przyniesie oczekiwany skutek. Jeżeli się udało – powinno zastanowić się, dlaczego się udało, jeżeli się nie udało – spróbować inaczej (przy okazji samemu wymyśleć, co zmienić, aby było inaczej). Tylko w ten sposób uczeń sam będzie w stanie zade­cydować, jak postępować w rozpoznanej przez siebie sytuacji – bo tylko on będzie tę sytuację kojarzył ze swoimi własnymi doświadczeniami.

 Dlatego nauczanie i uczenie się matematyki musi przebiegać w sytuacji swobodnego uczniowskiego poszukiwania.

Wszelka „pomoc” nauczyciela, polegająca na ogół na pokazywaniu skrótów, chronieniu przed popeł­nianiem błędów, a w najbardziej radykalnej postaci – na nauczaniu i wymuszaniu na uczniu działań schematycznych na zasadzie „to się tak robi” – to działania głęboko szkodliwe. Mogą one przynieść krótkotrwały oczekiwany efekt, ale tak naprawdę powodują, że dziecko przestaje wierzyć we własne umiejętności, przestaje myśleć i poszukiwać. Bo i po co – jeśli pani i tak powie, jak to trzeba zrobić. Działa metodą na chybił trafił, licząc, że zgadnie, czego od niego w szkole oczekują.

Dla jasności – samo zgadywanie to świetna mate­matyczna metoda. Dziecko, pytane: „jak wpadłeś na to rozwiązanie” często odpowiada: „zgadłem!” i jest z siebie bardzo dumne. Wtedy jest miejsce dla nauczyciela, by rozeznał, czy to był ślepy traf, czy jednak z tym zgadywaniem były powiązane jakieś intuicje. Nauczyciel powinien pomóc w dokonaniu refleksji nad rozwiązaniem, pomóc wydobyć istotne dla matematyki działania. Tak czy siak, to nauczyciel powinien (jeżeli uczeń nie potrafi) doprowadzić do uzasadnienia poprawności wyniku, nawet tego otrzymanego przez zgadnięcie.

Ilość uczniowskich doświadczeń i czas potrzebny do ich gromadzenia

Doświadczeń trzeba dużo. Im więcej, tym lepiej. Im bardziej różnorodne, tym korzystniej. Pojęcia matematyczne kształtowały się bardzo długo, zanim przybrały kształt abstrakcyjnych pojęć i procedur. W szkole nie mamy aż tyle czasu, więc przyspieszamy, chcemy na skróty. I to jest podstawowy błąd. Wszyst­ko potrzebuje czasu. Jeden z bardzo mądrych pro­fesorów porównał takich niecierpliwych nauczycieli do ogrodników, którzy, chcąc przyspieszyć wzrost roślin, podciągają je do góry – przy okazji odrywając roślinkę od jej korzeni. Dziecko musi się spotykać z pojęciem czy procedurą wielokrotnie, i to w różnych sytuacjach, by móc kiedyś posługiwać się wiedzą formalną. Na przykład – zanim naprawdę zrozumie ideę kwadra­tu jako figury geometrycznej, musi słowem kwadrat na­zywać plastikową płytkę z mozaiki – układanki, kwadratową kolorową karteczkę, ściankę sześciennej kostki, stworzony obrys pudełka, gumkę na­ciągniętą na kołeczki geoplanu. Każda z tych sytuacji, każdy z tych przedmiotów jest zupełnie inny, więc z ko­nieczności umysł będzie się wysilał, by znaleźć elementy je łączące, a w konsekwencji stworzyć POJĘCIE kwadratu. Dokładnie tak, jak umysł trudzi się przy budowaniu każdego innego ogólnego pojęcia: stołu, psa, obiadu. Nauczyciel musi więc budować coraz inne sytuacje dydaktycz­ne, nawiązujące do tego samego matematycznego pojęcia. Żadna pojedyncza reprezentacja nie jest dobra, bo nie daje szansy na to, by z niej wyabstra­hować to, co jest matematycznie istotne, oddzielić od tego, co fizyczne i nieistotne.

Jeszcze o czasie

Czas jest niewidzialnym, ale istotnym czynnikiem w budowaniu wiedzy matematycznej. Pojęć i proce­dur matematycznych nie da się nauczyć raz a dobrze. Do ukształtowania pojęcia matematycznego po­trzebne są najpierw intuicje – te, które są tworzone na bazie zbieranych doświadczeń. W pewnym mo­mencie dziecko powie „aha, to wciąż jest to samo” – i to będzie już etap, w którym można będzie mówić o tworzeniu matematycznego pojęcia w formie jawnej. A potem następuje etap krystalizacji, w trak­cie którego uczeń, posługując się tym pojęciem, coraz lepiej poznaje jego własności. Dlatego etap nauczania wczesnoszkolnego to nie jest tylko etap ukierunkowany na te pojęcia, które w jawny sposób nauczyciel ma zawarte w podstawie programowej. Tutaj jest również miejsce na tworzenie takich sytu­acji, które przygotowują zagadnienia z klas starszych. Podam przykład. Tradycyjnie w programie klasy I realizowane są zagadnienia związane z monografią liczby. Nauczyciele prezentują reprezentacje dla liczb jednocyfrowych, dbając o różne aspekty tych liczb, pokazują znak graficzny liczb. Dla wielu dzieci jest to dość nudne powtórzenie tego, co już znają z przedszkola lub zerówki, chociaż oczywiście można te zajęcia potraktować jako uporządkowanie podsta­wowego materiału. Po liczbie 9 przychodzi czas na liczbę 10 – i często schemat zajęć niczym nie różni się od wcześniejszych. A przecież przy liczbie 10 aż się prosi, by zacząć w czytelny sposób budować ideę kodowania wielkości w systemie pozycyjnym dzie­siątkowym. Zaniedbanie tego faktu skutkuje potem problemami w wykonywaniu działań na większych liczbach. Inną, często powielaną, krótkowzroczną sytuacją jest ta, w której mnożenie kształtowane jest jako wielokrotne dodawanie. Nie ma oczywiście niczego złego w przeliczeniu wyników mnożenia za pomocą dodawania, takie postępowanie się jednak sprawdza tylko wtedy, gdy działamy na liczbach na­turalnych. Można powiedzieć – wystarczy do końca klasy III. A przecież już niedługo uczniowie poznają ułamki – co wtedy z mnożeniem ułamków? Nie da się tego mnożenia uogólnić na wielokrotne dodawa­nie takich samych składników. Są to tylko niektóre przykłady pokazujące, że uczenie się matematyki musi być rozumiane jako proces mocno rozciągnięty w czasie. Każdy etap tego procesu spełnia inne za­danie w budowaniu wiedzy matematycznej ucznia.

Tworzenie pojęć matematycznych

Z problemem czasu wiąże się jeszcze inne zagadnie­nie. Wielu uczniów wybiega poza program – bo zdo­byli skądś doświadczenia będące dla nich podstawą do zrozumienia określonych zagadnień. Wyprzedzają więc czas zwyczajowo przeznaczony na zapozna­wanie się z elementami wpisanymi w edukację. Są to fantastyczne dydaktyczne sytuacje, których nie można zaprzepaszczać. I nie wolno nakazać dziecku się zatrzymać. Należy pozwalać dziecku (uczniowi) dalej badać to zagadnienie, którym jest w danym momencie zafascynowane – niech wchodzi w od­krywanie na tyle, na ile potrafi. Kolejna zasadnicza kwestia to: sposób zdobywania doświadczeń będą­cych podstawą tworzenia pojęć matematycznych. Oczywiście, przez działanie.

 Dziecko musi być aktywne w tym sensie, że musi mieć coś w ręce, coś przesunąć, ułożyć, zbudować, wyciąć, ale również – opisać, spytać się, nie zgodzić.

Czasami sam materiał, na jakim działa, jest narzę­dziem do obserwacji. Czasami – jest reprezentantem sytuacji, którą dziecko bada. Nie ma dobrych zajęć matematycznych, które by polegały jedynie na funk­cjonowaniu w świecie abstrakcyjnych matematycznych symboli. I wcale nie jest to tak, że dajemy uczniowi do rąk jakiś konkret, by uatrakcyjnić zajęcia. My dajemy ten konkret po to, by dziecko w ogóle mogło myśleć! Świat abstrakcji nie jest jeszcze małemu uczniowi dostępny. Musi on działać na reprezentacji, sam tworzyć schematy sytuacji opisy­wanych, np. w zadaniach tekstowych. Te schematy i reprezentacje mogą być realizowane poprzez działania na obiektach albo przybierać postać samo­dzielnie tworzonych rysunków. Każdy może działać na swoim własnym poziomie kompetencji, wykorzy­stywać te doświadczenia, techniki, procedury, które są mu bliskie. Porównywanie różnych reprezentacji, tworzonych przez różnych uczniów do tej samej sy­tuacji, to również bardzo dobra sytuacja dydaktycz­na. Nie tylko dlatego, że uczniowie uczą się wtedy od siebie, gdyż muszą postarać się ocenić to, co zrobił ktoś inny. Czasami przez takie porównywanie uczeń sam może dojść do wniosku, że ktoś inny zrobił coś ciekawszego i że warto postępować podobnie. Ale przede wszystkim przekonują się oni, że można być samodzielnym w swoim myśleniu, że inny sposób wcale nie znaczy – zły sposób. Z drugiej strony samodzielne znalezienie błędu w swoim własnym myśleniu też jest łatwiejsze przy takiej koleżeńskiej konfrontacji.

Inni jako partnerzy w budowaniu wiedzy matematycznej

Ci inni są bardzo potrzebni. Głównie po to, by poroz­mawiać. By głośno opowiedzieć o swoim pomyśle, choćby po to, by się nim pochwalić, a przy okazji – uporządkować poprzez słowa te chaotyczne myśli, które buzowały w głowie podczas szukania rozwią­zania. Inni pokazują bogactwo sposobów, bo prze­cież można różne rzeczy różnie rozumieć, i można różnie się zabierać do rozwiązywania. No, a jak jedna osoba mówi, to druga słucha – i odnosi to, co słyszy, do własnego myślenia i rozumienia. Takie słuchanie innych nie jest wcale łatwe, ale jakie potrzebne i kształcące! Oczywiście najlepiej porozmawiać z rówieśnikami, bo nauczyciel nie zawsze jest w stanie zrozumieć, co się do niego mówi.

 Nauczyciel często niepotrzebnie kryty­kuje, od razu ocenia, chce chronić przed błądzeniem.

Niepotrzebnie mówi, że jakieś rozwiązanie jest ładne i oczekiwane, a inne – nudne, za długie, jakieś nie takie. A przecież jeżeli uczeń sam coś wymyślił, to i obiektywnie, i subiektywnie – takie rozwiązanie jest zawsze najlepsze.

Przesłanie do nauczycieli

Jest wielu fantastycznych nauczycieli, którzy nie boją się otwierać szeroko przed uczniem możliwości bycia aktywnym. Rozumieją, że narzucanie form pracy dalekich od naturalnych (poprzez działanie), zmu­szanie do działań schematycznych, to działanie na szkodę dziecka. Wiedzą, że aby uczeń poznał nowe zagadnienie, potrzebuje czasu, a błądzenie jest wpisane w proces poszukiwania. Wiedzą również, że aby uczeń umiał matematykę, należy od samego początku wspierać dwie strony związane z osobo­wością dziecka – tę odpowiedzialną za specyficzne matematyczne kompetencje, takie jak umiejętność matematyzowania, krytyczność myślenia, umiejęt­ność wnioskowania, i drugą – związaną z wysoką samooceną, odpornością na stres, wytrwałością, sa­modzielnością w podejmowaniu decyzji. Wiedzą, że należy dać uczniom szansę na przeżycie satysfakcji z własnych sukcesów. Ale przede wszyst­kim potrafią rozbudzać motywację do zajmowania się matematyką, i to moty­wację zakorzenioną w samej matematyce, bazującą na samodzielnym odkrywaniu. Takim nauczycielom z pewnością bliskie są słowa Alberta Einsteina: Najpiękniejsze odczucia wypływają z zadziwienia. Są to te odczucia, które stoją u kolebki prawdziwej sztuki i prawdziwej nauki. Człowiek, który nie zna tego uczucia, człowiek, który nie potrafi się dziwić i który nie umie zdumieć się, jest martwy. Jest jak zgaszona świeca.

Dr hab. Ewa Swoboda − profesor Państwowej Wyższej Szkoły Techniczno-Ekonomicznej w Jarosławiu, dydaktyk matematyki, nauczyciel akademicki pracujący z przyszłymi nauczycielami matematyki. Autorka cenionych prac o nauczaniu matematyki. Współautorka edukacji matematycznej w serii Wielka Przygoda.